Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）點M是的中點，CM交AB于點N，若AB＝6，求MNMC的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）18

【解析】

（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可，根據圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，故PC是⊙O的切線；

（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ABM＝∠BCM，進而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC，代入數據可得MNMC= BM2=18．

（1）證明：∵∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠A，

∴∠A=∠PCB，

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠CBA=90°，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線；

（2）連接MA、MB，

∵點M是的中點，

∴∠ABM＝∠BCM，

又∵∠BMN＝∠CMB，

∴△MBN∽△MCB，

∴，即MN·MC＝MB2，

又∵AB是⊙O的直徑且點M是的中點，

∴∠AMB＝90°且AM＝BM，

∵AB＝6，

∴BM＝AM=，

∴MN·MC＝BM2＝18．