Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOC的頂點A（-1，3），∠ACO=90°，點O為坐標原點．將Rt△AOC繞點O順時針旋轉90°，得到Rt△A′OC′．設直線AA′與x軸交于點M、與y軸交于點N，拋物線經過點C、M、N．解答下列問題：
（1）求直線AA′的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在這樣的點P，使四邊形PA′C′N成為直角梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出點A′的坐標，再把點A′和A的坐標代入直線的解析式即可求出結果．
（2）本題需先求出點M、N的坐標，再設出拋物線的解析式把點M、N、C的坐標代入即可求出答案．
（3）本題需先畫出使四邊形PA′C′N成為直角梯形時點P所在的位置，即可求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（-1，3），
∴點A′的坐標為（3，1），
設直線AA′的解析式為y=kx+b（k≠0）
則

3=-k+b 1=3k+b

解得

k=- 1 2 b= 5 2

所以直線AA′的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）∵直線AA′的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

∴點M、N的坐標為（5，0）（0，

5

2

）
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
則

0=25a+5b+c 5 2 = c 0=a-b+c

解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

所以拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+2x+

5

2

．

（3）當點P在P₁點處時四邊形PA′C′N成為直角梯形
∵P₁點的縱坐標是

5

2

，
∴P₁點的橫坐標是4，
∴P₁點的坐標是（4，

5

2

）
當點P在P₂點處時四邊形PA′C′N成為直角梯形
∵P₂點的橫坐標是3，
∴P₂點的縱坐標是4，
∴P₂點的坐標是（3，4）
∴P點的坐標為（4，

5

2

）或（3，4）．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要把二次函數的性質和解析式求法與一次函數的性質及解析式求法相結合是本題的關鍵．