Question

已知平行四邊形ABCD，點F為線段BC上一點（端點B，C除外），連接AF，AC，連接DF，并延長DF交AB的延長線于點E，連接CE．
（1）當F為BC的中點時，求證△EFC與△ABF的面積相等；
（2）當F為BC上任意一點時，△EFC與△ABF的面積還相等嗎？說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先表示出S_△EFC與S_△ABF，面積，再利用△EFC與△ABF的面積相等且當F為BC的中點，所以必須證明h=h′，而h=ABsin∠ABC，h′=EBsin∠ABC，所以證明方向轉化為求證EB=AB，而EB=CD，可利用證△EBF≌△DCF來解答，因此便可求證所求；
（2）由于△ABC和△CDE為等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因為△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．即可得出S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．

解答：解：（1）證明：∵點F為BC的中點，
∴BF=CF=

1

2

BC，
又∵BF∥AD，
∴BE=AB，
∴A，E兩點到BC的距離相等，都為ABsin∠ABC，

則S_△ABF=

1

2

•BF×ABsin∠ABC，
S_△EFC=

1

2

•FC•h₁，
∵h₁=ABsin∠ABC，BF=CF，
∴S_△ABF=S_△EFC；

（2）當F為BC上任意一點時，
設BF=x，則FC=BC-x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴

BF

AD

=

BE

BE+AB

，
∴

x

BC

=

BE

BE+AB

，
∴BE=

ABx

BC-x

，
在△EFC中，FC邊上的高h₁=BEsin∠ABC，
∴h₁=

ABx

BC-x

sin∠ABC，
∴S_△EFC=

1

2

FC×h₁=

1

2

（BC-x）×

ABx

BC-x

sin∠ABC=

1

2

ABxsin∠ABC，
又在△ABF中，BF邊上的高h₂=ABsin∠ABC，
∴S_△ABF=

1

2

ABxsin∠ABC，
∴S_△ABF=S_△EFC．

點評：此題考查了平行四邊形的基本性質和三角形全等的判定以及三角形面積求法等知識，正確的表示出各三角形的面積是解決問題的關鍵．