Question

如圖，直線y=x+1分別與 x軸、y軸分別相交于點A、B．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與 y軸的正半軸相交于點C，與這個一次函數的圖象相交于A、D，且sin∠ACB=．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）如果∠CDB=∠ACB，求拋物線y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）設一次函數中的y=0，求出x的值，即A的橫坐標，設x=0，求出y的值即B的縱坐標，再利用已知條件和勾股定理求出OC的長，即C的縱坐標；
（2）因為如果∠CDB=∠ACB，則D點的位置不確定，因此小題需要分①當點D在AB延長線上時，②當點D在射線BA上時，兩種情況討論，求出滿足題意的拋物線y=ax²+bx+c的解析式即可．
解答：解：（1）設一次函數中的y=0，即y=x+1=0，
∴x=-1，
∴點A的坐標（-1，0），
設x=0，即y=1，
∴點B的坐標（0，1），
∵OA=1，在Rt△AOC中，sin∠ACB==，AC=，
∴OC=，
∴點C的坐標（0，3）．

（2）
①當點D在AB延長線上時，
∵B（0，1），
∴BO=1，∴AB=，
∵∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD．
∴，
∴，
∴AD=5，
過點D作DE⊥y軸，垂足為E，
∵DE∥AO，
∵AD=5，AB=，
∴BD=4，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴BE=DE=4，
∴OE=5，
∴點D的坐標為（4，5）．
因為二次函數的解析式為y=ax²+bx+3，
∴
∴，
∴二次函數解析式為y=-x²+x+3；
②當點D在射線BA上時，同理可求得點D（-2，-1），
二次函數解析式為y=x²+4x+3；
綜上可知：如果∠CDB=∠ACB，則拋物線的解析式為y=-x²+x+3或y=x²+4x+3．
點評：本題考查一次函數和坐標軸的交點問題、二次函數解析式的確定、相似三角形的判定、相似三角形的性質、勾股定理的運用及綜合應用知識、解決問題的能力，題目難度不小，對學生的解題能力要求很高．