Question

【題目】如圖，已知△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點F．

（1）求證：△ABE≌△CAD；

（2）若BP⊥AD于點P，PF=9，EF=3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=21.

【解析】試題分析：(1)根據等邊三角形的性質得出AB=AC，∠BAE=∠ACD，結合AE=CD得出三角形全等；(2)根據全等得出BE=AD，∠ABE=∠CAD，結合外角的性質得出∠BFP=60°，然后根據直角三角形的性質得出BF的長度，最后根據AD=BE=BF+EF得出答案．

試題解析：(1)∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，又∵AE=CD，

∴△ABE≌△CAD；

(2)∵△ABE≌△CAD， ∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，

∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP， 即∠BFP=∠BAC=60°，

又∵BP⊥AD，∴∠BPF=90°， ∴∠FBP=30°， ∴BF=2PF=18，

∴AD=BE=BF+EF=18+3=21．