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【題目】在平面直角坐標系中,二次函數的圖象交坐標軸于 A(﹣10),B40),C

0,﹣4)三點,點 P 是直線 BC 下方拋物線上一動點.

1 求這個二次函數的解析式;

2 是否存在點 P,使POC 是以 OC 為底邊的等腰三角形?若存在,求出 P 點坐標;若不存在,請說明理由;

3 在拋物線上是否存在點 D(與點 A 不重合)使得 SDBCSABC,若存在,求出點 D的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4;(2)存在滿足條件的P點,其坐標為(,﹣2);(3)存在滿足條件的D點,其坐標為(5,6).

【解析】

(1)由A、B、C三點的坐標,利用待定系數法可求得拋物線解析式;

(2)由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上,則可求得P點縱坐標,代入拋物線解析式可求得P點坐標;

(3)存在.分兩種情況討論,再利用待定系數法以及解方程組即可解決問題.

(1)設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,

A、B、C三點坐標代入可得,解得

∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4;

(2)如圖1,作OC的垂直平分線DP,交OC于點D,交BC下方拋物線于點P,

PO=PC,此時P點即為滿足條件的點,

C(0,﹣4),

D(0,﹣2),

P點縱坐標為﹣2,

代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=

∴存在滿足條件的P點,其坐標為(,﹣2);

(3)如圖2,

①當D點在直線BC的上方時,過A點作AD1BC,交拋物線于D1,此時,使得SDBC=SABC

B(4,0),C(0,﹣4),

∴直線BC的解析式為y=x﹣4,

AD1BC,

∴設直線AD11的解析式為y=x+n,

A(﹣1,0)代入得,0=﹣1+n,則n=1,

∴直線AD1的解析式為y=x+1,

D1的坐標為(5,6),

②當D點在直線BC的下方時,

由直線AD1的解析式為y=x+1可知直線AD1y軸的交點E的坐標為(0, 1),

CE=5,

∴直線AD的解析式為y=x﹣10,

∵方程x2﹣3x﹣4=x﹣10無實數根,

故存在滿足條件的D點,其坐標為(5,6).

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