Question

在△ABC中，∠ACB=90°，點A的坐標為（0，2），點B（-3，1）在拋物線y=ax²+ax-2上，點C在x軸上．
（1）求a的值；
（2）求點C的坐標；
（3）若△ABC是等腰直角三角形
①如圖1，將△ABC繞頂點A逆時針方向旋轉β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，當點C′（2，1）恰好落在該拋物線上，請你通過計算說明點B′也在該拋物線上．
②如圖2，設拋物線與y軸的交點為D、P、Q兩點同時從D點出發，點P沿折線D→C→B運動到點B，點Q沿拋物線（在第二、三象限的部分）運動到點B，若P、Q兩點的運動速度相同，請問誰先到達點B，為什么？

Answer 1

解：（1）∵點B（-3，1）在拋物線y=ax²+ax-2上，
∴1=9a-3a-2，
∴a=；
（2）過B作BE⊥x軸，垂足為E，設OC=a，則CE=OE-OC=3-x，
∴∠BEC=∠AOC=90°，
∴∠BCE+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCE=∠CAO，
∴△BEC∽△COA，
∴，
即，
整理得：a²-3a+2=0，
解得：a=1或2，
∴點C的坐標是（-1，0）或（-2，0）；
（3）若△ABC是等腰直角三角形，則C的坐標是（-1，0），
①將△ABC繞頂點A逆時針方向旋轉β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，則AC=AC′=，CC′=，∠CAC′=90°，
∴點B′的坐標是（1，-1），
把（1，-1）代入y=x²+x-2得：×1+×1-2=-1，
∴點B′也在該拋物線上；
②設拋物線的頂點M，
∵y=x²+x-2=（x+）²-
∴M點的坐標為（-，-），
∴DC+BC=2≈4.42，DM+MB=+4.517，
∴DC+BC＜DM+MB，
∵P、Q兩點的運動速度相同，
∴P點先到達點B．
分析：（1）把點B的坐標（-3，1）代入二次函數的解析式y=ax²+ax-2即可求出a的值；
（2）過B作BE⊥x軸，垂足為E，設OC=a，證明△BEC∽△COA，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等得到根據a的方程解方程求出a的值即可；
（3）①若△ABC是等腰直角三角形，則點C的坐標為（-1，0），將△ABC繞頂點A逆時針方向旋轉β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，則AC=AC′=，CC′=，∠CAC′=90°，進而求出B′的坐標，代入函數的解析式驗證即可；②由拋物線的解析式可求出頂點M坐標（-，-），物線與y軸的交點為D、P、Q兩點同時從D點出發，點P沿折線D→C→B運動到點B，點Q沿拋物線（在第二、三象限的部分）運動到點B，則DC+BC=2，DM+MB=+，因為P、Q兩點的運動速度相同再比較DC+BC和DM+MB的大小即可知道誰先到達點B．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、坐標系兩點間的距離公式等重要知識；（3）題中，由于Q點的移動軌跡是條曲線，在求其移動距離時，能夠通過輔助線來化曲為直，間接的得出P、Q的路程大小是解決問題的關鍵．