Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，且∠PBC=∠C．
（1）求證：CB∥PD；
（2）若BC等于3，sinP=

3

5

，求⊙O的直徑；
（3）連接OC，取其中點M，連接AM并延長交

BC

于F，連接DF，求證：DF平分弦BC．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理得到∠D=∠PBC，而∠PBC=∠C，則∠D=∠C，然后根據平行線的判定定理即可得到結論；
（2）連AC，根據垂徑定理及圓周角定理得到∠P=∠A，∠ACB=90°，則sinA=sinP=

3

5

，然后根據正弦的定義得到

BC

AB

=

3

5

，而BC=3，易得AB=5；
（3）連接BD，DF交BC于點N，由直徑AB⊥CD，根據垂徑定理得弧BC=弧BD，弧AC=弧AD，則BC=BD，∠ABC=∠ABD，根據圓周角定理有∠AOC=2∠ABC，則∠AOC=∠DBC，又∠A=∠BDF，根據相似三角形的判定可得△AOM∽△DNB，則OA：BD=OM：BN，即BD：BN=OA：OM，而點M為OC的中點，則OA=2OM，于是有BD=2BN，即可得到BC=2BN，BN=CN，即DF平分弦BC．

解答：（1）證明：∵∠D=∠PBC，∠PBC=∠C，
∴∠D=∠C，
∴CB∥PD；

（2）解：連接AC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，
∴

BC

=

BD

，
∴∠P=∠A，
∴sinA=sinP=

3

5

，
又∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=

BC

AB

=

3

5

，
而BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直徑為5；

（3）連接BD，DF交BC于點N，如圖，
∵直徑AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD，
∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=∠DBC，
又∵∠A=∠BDF，
∴△AOM∽△DBN，
∴OA：BD=OM：BN，即BD：BN=OA：OM，
而點M為OC的中點，
∴OA=2OM，
∴BD=2BN，
∴BC=2BN，
∴BN=CN，即DF平分弦BC．

點評：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；運用相似三角形的判定與性質證明線段之間的關系；運用正弦的定義進行幾何計算．