Question

在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1．將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF（如圖①）．
（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖②），PC的長為______

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余關系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）的值不變．理由為：過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APE∽△GFP，得相似比===2，再利用銳角三角函數的定義求值．
解答：（1）解：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，則PB=，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴=，即=，
∴PC=2；
故答案為：2

（2）的值不變，理由為：
證明：過F作FG⊥AD，垂足為G，
則四邊形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GFP，
∴===2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，
∴的值不變．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，以及解直角三角形，解題的關鍵是利用互余關系證明相似三角形．