Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l₁⊥x軸于點（1，0），直線l₂⊥x軸于點（2，0），直線l₃⊥x軸于點（3，0）…直線l_n⊥x軸于點（n，0）．函數y=x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點A₁，A₂，A₃，…A_n，函數y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點B₁，B₂，B₃，…B_n．如果△OA₁B₁的面積記為S₁，四邊形A₁A₂B₂B₁的面積記作S₂，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積記作S₃，…四邊形A_n-1A_nB_nB_n-1的面積記作S_n，那么S₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：先求出A₁，A₂，A₃，…A_n和點B₁，B₂，B₃，…B_n的坐標，利用三角形的面積公式計算△OA₁B₁的面積；四邊形A₁A₂B₂B₁的面積，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積，…四邊形A_n-1A_nB_nB_n-1的面積，則通過兩個三角形的面積差計算，這樣得到S_n=n-

1

2

，然后把n=2011代入即可．

解答：解：∵函數y=x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點A₁，A₂，A₃，…A_n，
∴A₁（1，1），A₂（2，2），A₃（3，3）…A_n（n，n），
又∵函數y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點B₁，B₂，B₃，…B_n，
∴B₁（1，2），B₂（2，4），B₃（3，6），…B_n（n，2n），
∴S₁=

1

2

•1•（2-1），
S₂=

1

2

•2•（4-2）-

1

2

•1•（2-1），
S₃=

1

2

•3•（6-3）-

1

2

•2•（4-2），
…
S_n=

1

2

•n•（2n-n）-

1

2

•（n-1）[2（n-1）-（n-1）]
=

1

2

n²-

1

2

（n-1）²
=n-

1

2

．
當n=2011，S₂₀₁₁=2011-

1

2

=2010.5．
故答案為2010.5．

點評：本題考查了兩條直線交點坐標的求法：利用兩個圖象的解析式建立方程組，解方程組即可；也考查了三角形的面積公式以及梯形的面積公式．