Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間，那么當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．

Answer 1

分析：若以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似，有兩種情況：
①△APQ∽△BAC，此時得AQ：BC=AP：AB；
②△APQ∽△BCA，此時得AQ：AB=AP：BC．
可根據上述兩種情況所得到的不同的對應成比例線段求出t的值．

解答：解：以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似，
所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，
①當△ABC∽△PAQ時，

AB

AP

=

BC

AQ

，
所以

15

2t

=

10

10-t

，
解得：t=

30

7

；

②當△ABC∽△QAP時，

CB

AP

=

BA

AQ

，
所以

10

2t

=

15

10-t

，
解得：t=

5

2

．
故當t=

30

7

或t=

5

2

時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：此題主要考查了矩形的性質及相似三角形的判定和性質；當相似三角形的對應角和對應線段不明確時，應考慮到所有可能的情況，分類討論，以免漏解．