Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以BC為直徑在矩形內作半圓，自點A作半圓的切線AE，則tan∠CBE=    ．

Answer 1

【答案】分析：設BC的中點為O，連接AO．由于AB、AE都是⊙O的切線，由切線長定理可知AB=AE，且∠BAO=∠EAO，因此AO垂直平分BE．設AO與BE的交點為F，在Rt△ABO中，BF⊥AO，那么∠OBF=∠BAO，易求得BO、AB的值，從而求出∠OAB即∠CBE的正弦值．
解答：解：設BC的中點為O，連接AO，交BE于F．
由于AB、AE分別切⊙O于B、E，
則AB=AE，且∠BAF=∠EAF．
又∵AF=AF，
∴△ABF≌△AEF．
∴AO垂直平分BE．
在Rt△ABO中，BF⊥AO，則∠FBO=∠BAO，
易知BO=2，AB=5，
∴tan∠BAO=tan∠CBE=．
點評：此題主要考查的是切線長定理以及銳角三角函數的定義，能夠通過輔助線得到∠CBE、∠BAO的等量關系，是解決問題的關鍵．