Question

在平面直角坐標系中，直線y=

3

3

x-

3

與x軸、y軸分別交于A，B兩點．現有半徑為1的動圓P，且P的坐標為（n，0），若動圓P與直線AB交，則n的取值范圍是______．

Answer 1

直線y=

3

3

x-

3

與x軸、y軸分別交于A，B，
設y=0，則0=

3

3

x-

3

，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵b=-

3

，
∴B（0，-

3

），
當p在直線AB的左側時，設圓p和直線AB相切于D，連接PD，
在Rt△ABD中，PD=1，
∵OB=

3

，AO=1，
∴tan∠BAO=

3

1

=

3

，
∴∠BAO=60°，
∴∠DPA=30°，
∴cos30°=

PD

AP

=

1

AP

=

3

2

，
∴AP=

2 3

3

，
∴OP=AP-OA=

2 3

3

-1，
當點p在直線AB的右側時，AP=

2 3

3

，
∴OP=OA+AP=1+

2 3

3

，
∴若動圓P與直線AB交，則n的取值范圍是

2 3

3

-1＜n＜

2 3

3

+1，
故答案為：

2 3

3

-1＜n＜

2 3

3

+1．