Question

已知：平行四邊形ABCD的兩鄰邊的長m，n是關于x的方程x2-kx+

k

2

-

1

4

=0的兩個實數根．
（1）求k的取值范圍．
（2）當k為何值時，四邊形ABCD是菱形？
（3）當k為何值時，四邊形ABCD的兩條對角線的長相等，且都等于

10

2

？求出這時四邊形ABCD的周長和面積．

Answer 1

分析：（1）根據題意求出△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（

k

2

-

1

4

）≥0，m+n=k＞0，mn=

k

2

-

1

4

＞0，求出不等式組的解集即可；
（2）根據菱形的性質得出m=n，即可得出方程有兩個相等的實數根，即△=0，求出即可；
（3）得出四邊形是矩形，根據勾股定理和根與系數的關系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周長和面積．

解答：解：（1）
∵平行四邊形ABCD的兩鄰邊的長m，n是關于x的方程x2-kx+

k

2

-

1

4

=0的兩個實數根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（

k

2

-

1

4

）≥0，m+n=k＞0，mn=

k

2

-

1

4

＞0，
（k-1）²≥0，k＞0，k＞

1

2

，
即k的取值范圍是k＞

1

2

；

（2）∵要使四邊形是菱形，則m=n，即方程有兩個相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（

k

2

-

1

4

）=0，
即k=1，
∴當k為1時，四邊形ABCD是菱形；

（3）∵四邊形是平行四邊形，且四邊形的對角線相等，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：m²+n²=（

10

2

）²，
即（m+n）²-2mn=

5

2

，
∵m+n=k，mn=

k

2

-

1

4

，
∴k²-2（

k

2

-

1

4

）=

5

2

，
k₁=2，k₂=-1（因為由（1）得出k＞

1

2

，所以此時的值舍去），
把k=2代入方程得：x²-2x+

3

4

=0，
解方程得：m=

1

2

，n=

3

2

或n=

1

2

，m=

3

2

，
∴矩形ABCD的周長是2×（

1

2

+

3

2

）=4，面積是

1

2

×

3

2

=

3

4

．
即此時四邊形ABCD的周長是4，面積是

3

4

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，菱形的性質，矩形的性質和判定的綜合運用．