Question

（2012•峨眉山市二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點B（2

2

，0）、A（m，0）（0＜m＜

2

），以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，點E是線段OD與正方形ABCD的外接圓的交點，連接BE與AD相交于點F．
（1）求證：BF=DO；
（2）若

AE

=

DE

，試求經過B、F、O三點的拋物線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，將拋物線l在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新圖象，若直線BE向上平移t個單位與新圖象有兩個公共點，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題可通過全等三角形來證簡單的線段相等，三角形ABF和ADO中，根據圓周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一組直角和AB=AD，因此兩三角形全等，即可得出BF=OD的結論；
（2）如果G是三角形BDO的外心，根據三角形外心定義可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2

2

，AB=OB-OA=2

2

+m，因此可根據AB、BD的比例關系求出m的值，即可得出OA的長，而在（1）得出的全等三角形中，可得出OA=FG，據此可求出F點坐標．已知了B、F、O三點坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）當直線BE與y軸相交于G，向上平移直線BE使平移后的直線經過原點O，由圖象知，在平移前直線BE與新圖象有1個公共點，平移到經過點O時與新圖象有3個公共點，并且0＜t＜OG，利用已知條件求出OG的長即可求出t的取值范圍；當直線BE向上平移至于拋物線相切后再向上平移時，直線BE與圖象的交點又變為兩個，設相切時直線BE的解析式為y=(

2

-1)x+b，求出方程組的解，進而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°
在△ABF和△ADO中
∵∠ABF=∠ADO，AB=AD，∠BAF=∠DAO
∴△ABF≌△ADO
∴BF=DO；

（2）∵A（m，0），B（2

2

，0），
∴AO=m，BO=2

2

，AB=2

2

-m，
∵弧AE=弧DE，
∴∠EBO=∠EBD，
∵∠DAB=90°，
∴BD為直徑∴∠BEO=∠BED=90°，
又∵BE=BE，
∴△BEO≌△BED，
∴BD=BO=2

2

，
在Rt△BCD中BD=

2

AB，
∴2

2

=

2

(2

2

-m)，
∴m=2

2

-2，
∵△ABF≌△ADO，
∴AF=AO=m=2

2

-2，
∴F點的坐標為(2

2

-2，2-2

2

)，
∵拋物線l經過O（0，0），B（2

2

，0），
設l的解析式為y=ax(x-2

2

)，
將F(2

2

-2，2-2

2

)代入得：a=

1

2

，
∴拋物線l的解析式為y=

1

2

x2-

2

x；

（3）①如圖，設直線BE與y軸相交于G，向上平移直線BE使平移后的直線經過原點O，由圖象知，在平移前直線BE與新圖象有1個公共點，平移到經過點O時與新圖象有3個公共點．∴0＜t＜OG
設直線BE的解析式為y=kx+m，將B（2

2

，0），F(2

2

-2，2-2

2

)代入易求出：y=(

2

-1)小x-4+2

2

，
當x=0時，y=-4+2

2

，
∴OG=4-2

2

，
此時t的取值范圍是：0＜t＜4-2

2

．
②如圖，當直線BE向上平移至于拋物線相切后再向上平移時，直線BE與圖象的交點又變為兩個，設相切時直線BE的解析式為y=(

2

-1)x+b，則方程組

y=- 1 2 x2+ 2 x y=( 2 -1)x+b

有一個解，

于是方程-

1

2

x2+

2

x=(

2

-1)x+b有兩個相等的實數根，求出b=

1

2

，
此時直線BE的解析式為y=(

2

-1)x+

1

2

，
直線BE與y軸的交點為（0，

1

2

）

1

2

+(4-2

2

)=

9

2

-2

2

，
∴此時t的取值范圍是：t＞

9

2

-2

2

．
綜上所述：t的取值范圍為：0＜t＜4-2

2

或t＞

9

2

-2

2

．

點評：本題考查了二次函數的性質，二次函數和圓的交點問題，以及正方形的性質和全等三角形的判定和全等三角形的性質，本題有一定的難度，綜合性也比較強，有一定的新意，第3小問有些難度，有一定的能力要求，解這種題時需冷靜地分析題意，找到切入點不會很難．