Question

如圖，已知一次函數y=kx+b（k、b為常數）的圖象與反比例函數（m為常數，m≠0）的圖象相交于點 A（1，3）、B（n，-1）兩點．
（1）求上述兩個函數的解析式；
（2）如果M為x軸正半軸上一點，N為y軸負半軸上一點，以點A，B，N，M為頂點的四邊形是平行四邊形，求直線MN的函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（1，3）代入中，求m的值，再將B（n，-1）所求反比例函數關系式求n的值，把A、B兩點代入一次函數y=kx+b中，解方程組求k、b的值，確定兩個函數解析式；
（2）運用平移法：根據A點縱坐標，B點橫坐標可知：線段NM可看作由線段AB向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到的，根據平移與點的坐標的關系，分別求A、B平移后對應點M、N的坐標，求直線MN的解析式．
解答：解：（1）因為點A（1，3）在反比例數的圖象上，
故，即m=3，
所以該反比例函數的解析式為，
所以點B的坐標為（-3，-1），
因為點A、B在一次函數y=nx+m的圖象上，
故，解得
所以該一次函數的解析式為y=x+2；

（2）方法一
∵M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的負半軸上，四邊形ANMB為平行四邊形，
∴線段NM可看作由線段AB向右平移3個單位，
再向下平移3個單位得到的，
（也可看作向下平移3個單位，再向右平移3個單位得到的）．
由A（1，3），得M點坐標為（1+3，3-3），
即M（4，0）
由B（-3，-1），得N點坐標為（-3+3，-1-3），
即N₁（0，-4）
設直線M₁N₁的函數解析式為y=k₁x-4，
把x=4，y=0代入，解得k₁=1．
∴直線MN的函數解析式為y=x-4；
方法二
設MN的函數解析式是y=k₁x+b₁
∵四邊形ABMN為平行四邊形，故MN∥AB，所以k₁=1，
分別過點A、B作AP∥y軸，CP∥x軸交于點P，易證△APB≌△MON，
ON=PB=|-3|+1=4，又因N在y軸的負半軸上，故b₁=-4，
所以直線MN的函數解析式為y=x-4．
點評：此題綜合考查了反比例函數、一次函數的解析式求法，平移及平行四邊形的性質．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．