Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為AB邊上一點，且不與A、B兩點重合，AE⊥AB，AE=BD，連接DE、DC．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）猜想：△DCE是______三角形；并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠1=∠B，從而可利用SAS判定△ACE≌△BCD．
（2）根據已知可猜想其為等腰直角三角形，由第一問可得CE=CD，∠3=∠4，根據等角的性質可推出∠ECD=90°，從而即得到了答案．
解答：（1）證明：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠2=45°．
∵AE⊥AB，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠1=45°．
∴∠1=∠B．
在△ACE和△BCD中，
∵
∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）猜想：△DCE是等腰直角三角形；
理由說明：
∵△ACE≌△BCD，
∴CE=CD，∠3=∠4．
∵∠4+∠5=90°，
∴∠3+∠5=90°．
即∠ECD=90°．
∴△DCE是等腰直角三角形．
點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的判定的綜合運用．