Question

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進一步探究中發現：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．
（4）如圖4，點E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線．請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點．

Answer 1

【答案】分析：（1）若點D為AB邊上的黃金分割點，則有．如果設△ABC的邊AB上的高為h，根據三角形的面積公式，易得，，即有，根據圖形的黃金分割線的定義即可判斷；
（2）由于等底同高的兩個三角形的面積相等，所以三角形任意一邊上的中線都將三角形分成面積相等的兩部分，即有，則，從而可知三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線；
（3）由于直線CD是△ABC的黃金分割線，所以．要想說明直線EF也是△ABC的黃金分割線，只需證明，即證S_△ADC=S_△AEF，S_△BDC=S_{四邊形BEFC}即可．因為DF∥CE，所以△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，所以有S_△DFC=S_△DFE，所以S_△ADC=S_△ADF+S_△DFC=S_△ADF+S_△DFE=S_△AEF，S_△BDC=S_{四邊形BEFC}．
（4）根據黃金分割線的定義即可作出．本題答案不唯一，作法有無數種．
解答：解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：
設△ABC的邊AB上的高為h．
則，，，
∴，．
又∵點D為邊AB的黃金分割點，
∴，
∴．
故直線CD是△ABC的黃金分割線．

（2）∵三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，
∴，即，
故三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．

（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，
∴S_△DFC=S_△DFE，
∴S_△ADC=S_△ADF+S_△DFC=S_△ADF+S_△DFE=S_△AEF，S_△BDC=S_{四邊形BEFC}．
又∵，
∴．
因此，直線EF也是△ABC的黃金分割線．（7分）

（4）畫法不惟一，現提供兩種畫法；
畫法一：如答圖1，取EF的中點G，再過點G作一條直線分別交AB，DC于M，N點，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線．
畫法二：如答圖2，在DF上取一點N，連接EN，再過點F作FM∥NE交AB于點M，連接MN，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線．

（9分）
點評：本題考查學生的閱讀能力、知識遷移能力、分析問題及解決問題的能力．綜合性較強，有一定難度．