Question

同學們學過有理數減法可以轉化為有理數加法來運算，有理數除法可以轉化為有理數乘法來運算．其實這種轉化的數學方法，在學習數學時會經常用到，通過轉化我們可以把一個復雜問題轉化為一個簡單問題來解決．
例如：計算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

此題我們按照常規的運算方法計算比較復雜，但如果采用下面的方法把乘法轉化為減法后計算就變得非常簡單．
分析方法：因為

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，
所以，將以上4個等式兩邊分別相加即可得到結果，解法如下：
解：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

=1-

1

5

=

4

5

（1）應用上面的方法計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

；
（2）計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

（只填答案）．
（3）類比應用上面的方法探究并計算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

Answer 1

分析：（1）利用題中的方法得到

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2011

-

1

2012

），然后去括號合并即可；
（2）與（1）一樣得到

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

，然后進行合并；
（3）把

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

變形為（2）中的形式得到

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

1005

-

1

1006

）]，然后利用（2）中的方法計算．

解答：解：（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2011

-

1

2012

）=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

1005

-

1

1006

）]=

1

4

×（1-

1

1006

）=

1005

4024

．

點評：本題考查了有理數的混合運算：先算乘方，再算乘除，然后進行加減運算；有括號先算括號．也考查了閱讀理解能力．