Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB、BC于點E、F、G，連接ED、DG．
（1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形

（2）解：作DH⊥BC于H，

∵四邊形EBGD為菱形ED=DG=2，

∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，

∴DH=1，GH= ，

∵∠C=45°，

∴DH=CH=1，

∴CG=GH+CH=1+ ．

【解析】（1）結論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．（2）作DH⊥BC于H，由四邊形EBGD為菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用線段垂直平分線的性質，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等即可以解答此題．