Question

△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB．
（1）若∠A=x°，∠BDC是y°，則y與x之間的函數關系式

y=

3

4

x+45

；
（2）若△BDC三邊的長時三個連續整數，求sinA；
（3）在（2）的條件下求△ADC的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據三角形內角和定理和角平分線的性質得出∠ACD，再根據三角形的外角性質即可求解；
（2）作∠ABC的平分線交CD于E，則△BDE∽△CDB，根據相似三角形對應邊成比例可計算出n=4；
（3）由正弦定理直接求出．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=x°，
∴∠ACB=∠B=

180°-x°

2

，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB=

180°-x°

4

，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=x°+

180°-x°

4

=

3x°+180°

4

，
∴y=

3

4

x+45．
故答案為y=

3

4

x+45；

（2）∵∠BCD=

1

2

∠ACB=

180°-x°

4

=45°-

1

4

x°，∠BDC=

3

4

x°+45°，∠DBC=2∠BCD，
∴∠BCD＜∠BDC，∠BCD＜∠DBC，
∴△BCD中BD邊最�。�
作∠ABC的平分線交CD于E．
∵∠DBE=

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB=∠DCB，∠BDE=∠CDB，
∴△BDE∽△CDB，
∴BD：CD=BE：BC=DE：BD．（*）
設BE=CE=z，則DE=n+1-z．
下面分兩種情況討論BC與CD的關系：
①當BC＞CD時，設BD、CD、BC分別為n，n+1，n+2，再設BE=CE=z，則DE=n+1-z．將它們代入（*），得

n

n+1

=

z

n+2

=

n+1-z

n

，
由

n

n+1

=

z

n+2

，得z=

n(n+2)

n+1

，
由

n

n+1

=

n+1-z

n

，得n+1-z=

n2

n+1

，
兩式相加，得n+1=

2n2+2n

n+1

，
解得n=1．
由三角形三邊關系定理可知1，2，3不能組成三角形，所以BC＞CD不成立；
②當BC＜CD時，設BD、BC、CD分別為n，n+1，n+2，再設BE=CE=z，則DE=n+2-z．將它們代入（*），得

n

n+2

=

z

n+1

=

n+2-z

n

，
由

n

n+2

=

z

n+1

，得z=

n(n+1)

n+2

，
由

n

n+2

=

n+2-z

n

，得n+2-z=

n2

n+2

，
兩式相加，得n+2=

2n2+n

n+2

，
解得n₁=4，n₂=-1（不合題意，舍去），
∴BD=4，BC=5，CD=6．
∵CD平分∠ACB，
∴AD：BD=AC：BC，
∴AD：4=AC：5，
設AD=4x，則AC=5x，
∵AB=AC，∴4x+4=5x，∴x=4，
∴AB=AC=20．
在△ABC中，AB=AC=20，BC=5，
由余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

31

32

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3 7

32

；

（3）△ADC的面積=

1

2

×16×20×

3 7

32

=15

7

．

點評：考查了等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，余弦定理以及正弦定理，綜合性較強，屬于競賽題型，難度較大．