Question

在平面直角坐標系中，已知點O為坐標原點，點A（0，4）．△AOB是等邊三角形，點B在第一象限．
（Ⅰ）如圖①，求點B的坐標；
（Ⅱ）點P是x軸上的一個動點，連接AP，以點A為旋轉中心，把△AOP逆時針旋轉，使邊AO與AB重合，得△ABD．
①如圖②，當點P運動到點（，0）時，求此時點D的坐標；
②求在點P運動過程中，使△OPD的面積等于的點P的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】分析：（I）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．
（II）①由△ABD由△AOP旋轉得到，證明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標．
②本題分三種情況進行討論，設點P的坐標為（x，0）：第一種情況：當點P在x軸正半軸上時，第二種情況：當P在x軸負半軸，OP＜時，第三種情況：當點P在x軸的負半軸上，且OP≥時，此時點D在x軸上或第四象限．綜合上面三種情況即可求出符合條件的值．
解答：解：（Ⅰ）如圖①，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F，
∵△AOB是等邊三角形，OA=4，
∴BF=OE=2．
在Rt△OBF中，
由勾股定理，得．
∴點B的坐標為（，2）．     
                  
（Ⅱ）①如圖②，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F，過點D作DH⊥x軸于點H，
延長EB交DH于點G．
則BG⊥DH．
∵△ABD由△AOP旋轉得到，
∴△ABD≌△AOP．
∴∠ABD=∠AOP=90°，．
∵△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°．
∵BE⊥OA，
∴∠ABE=30°，∴∠DBG=60°，∠BDG=30°．
在Rt△DBG中，．
∵sin60°=，∴DG=DB•sin60°=．
∴．．
∴點D的坐標為（，）．     
             
②點P的坐標分別為（，0）、（，0）、（，0）、
（，0）．
假設存在點P，在它運動過程中，使△OPD的面積等于．
設OP=x，下面分三種情況討論．
第一種情況：
當點P在x軸正半軸上時，如圖③，BD=OP=x，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°=．
∴．
∵△OPD的面積等于，
∴•，．
解得：，（舍去）．
∴點P₁的坐標為（，0）．
第二種情況：
當點P在x軸的負半軸上，且OP＜時，此時點D在第一象限，如圖④，
在Rt△DBG中，∠DBG=30°，BG=BD•cos30°=．
∴．
∵△OPD的面積等于，
∴•，．
解得：，．
∴點P₂的坐標為（，0）．點P₃的坐標為（，0）．
第三種情況：
當點P在x軸的負半軸上，且OP≥時，此時點D在x軸上或第四象限，如圖⑤，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°=．
∵△OPD的面積等于，
∴•，．
解得：，（舍去）．
∴點P₄的坐標為（，0）．
綜上所述，點P的坐標為：P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、P₄（，0）．
點評：本題主要考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質和二次函數的性質，關于動點問題，注意分類討論解答．