Question

我市的公租房建設卓有成效，目前已有部分公租房投入使用，計劃從今年起，在未來的10年內解決低收入人群的住房問題，預計第x年竣工并投入使用的公租房面積y（百萬平方米）滿足這樣的關系式：1≤x≤6時，；7≤x≤10時，．同時，政府每年將向租戶收取一定的租金，假設每年的公租房全部出租完，另外隨著物價上漲等因素的影響，每年的租金也會隨之上調，預測：第x年竣工并投入使用的公租房租金z（元/m²）與時間x（年）滿足以下表：

z（元/m2）	50	52	54	56	…
x（年）	1	2	3	4	…

（1）試估計z與x之間的函數類型，并求出該函數表達式；
（2）求政府在哪一年竣工并投入使用的公租房收取的租金最多，最多是多少？
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解決20萬人的住房問題，政府計劃在第10年竣工投入使用的公租房在原預計總面積不變的情況下，要讓人均住房面積比第6年提高a%，這樣解決住房的人數將比第6年解決的人數減少1.35a%，求a的值（結果保留整數）．（參考數據：17²=289，18²=324，19²=361）

Answer 1

【答案】分析：（1）由自變量x逐漸增大，而相對應的函數值z逐漸增大，且數據均勻增加，可以推測z是x的一次函數；
（2）利用公租房收取的租金=公租房租金z（元/m²）×投入使用的公租房面積y（百萬平方米）列出二次函數，利用配方法求得最大值即可；
（3）利用第6年人均住房面積×（1+a%）×第6年解決的人數×（1-1.35a%）=第10年人均住房面積，列方程解決問題．
解答：解：（1）估計z是x的一次函數．
設z=kx+b，把（1，50）（2，52）代入函數解析式解得k=2，b=48，
所以z=48+2x；

（2）設第x年竣工并投入使用的公租房收取的租金為w百萬元w=y•z，
當1≤x≤6時：==-（x-3）²+243，
x=3時，W_max=243（百萬元）；
當7≤x≤10時，==-（x-7）²+，
；
∵243＞，
∴第3年時，收取的租金最多，最多是243百萬元；

（3）∵第6年人均住房面積是（-×6+5）×100÷20=20，
∴20×（1+a%）×20×（1-1.35a%）=（-×10+）×100，
設a%=x，
解得：x₁≈0.2，x₂=＜0（舍去），
∴a=20．
點評：此題綜合考查了待定系數法求一次函數，利用配方法求二次函數的最值以及利用基本數量關系建立方程解決實際問題，是一道比較好的題目．