Question

如圖，P是y軸上一動點，是否存在平行于y軸的直線x=t，使它與直線y=x和直線y=-

1

2

x+2分別交于點D、E（E在D的上方），且△PDE為等腰直角三角形？若存在，求t的值及點P的坐標；若不存在，請說明原因．

Answer 1

分析：將x=t代入解析式，得到y與t的關系式，然后根據直線在y軸的左側和在y軸的右側兩種情況并以不同邊為斜邊構造等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出t的值，進而求出各點坐標．

解答：解：存在．
方法一：當x=t時，y=x=t；
當x=t時，y=-

1

2

x+2=-

1

2

t+2．
∴E點坐標為（t，-

1

2

t+2），D點坐標為（t，t）．（2分）
∵E在D的上方，
∴DE=-

1

2

t+2-t=-

3

2

t+2，且t＜

4

3

．（3分）
∵△PDE為等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
若t＞0，PE=DE時，-

3

2

t+2=t，
∴t=

4

5

，-

1

2

t+2=

8

5

，
∴P點坐標為（0，

8

5

）．（5分）
若t＞0，PD=DE時，-

3

2

t+2=t，
∴t=

4

5

，
∴P點坐標為（0，

4

5

）．（6分）
若t＞0，PE=PD時，即DE為斜邊，
∴-

3

2

t+2=2t（7分）
∴t=

4

7

，DE的中點坐標為（t，

1

4

t+1），
∴P點坐標為（0，

8

7

）．（8分）
若t＜0，PE=DE和PD=DE時，由已知得DE=-t，-

3

2

t+2=-t，t=4＞0（不符合題意，舍去），
此時直線x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD時，即DE為斜邊，由已知得DE=-2t，-

3

2

t+2=-2t，（11分）
∴t=-4，

1

4

t+1=0，
∴P點坐標為（0，0）．（12分）
綜上所述：當t=

4

5

時，△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0，

8

5

）或（0，

4

5

）；
當t=

4

7

時，△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0，

8

7

）；
當t=-4時，△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0，0）．

方法二：設直線y=-

1

2

x+2交y軸于點A，交直線y=x于點B，過B點作BM垂直于y軸，垂足為M，交DE于點N．
∵x=t平行于y軸，
∴MN=|t|．（1分）
∵

y=x y=- 1 2 x+2

，
解得x=

4

3

，y=

4

3

，
∴B點坐標為（

4

3

，

4

3

），
∴BM=

4

3

，
當x=0時，y=-

1

2

x+2=2，
∴A點坐標為（0，2），
∴OA=2．（3分）
∵△PDE為等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
如圖，若t＞0，PE=DE和PD=DE時，
∴PE=t，PD=t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴

DE

OA

=

BN

BM

．（5分）
∴

t

2

=

4 3 -t

4 3

，
∴t=

4

5

當t=

4

5

時，y=-

1

2

x+2=

8

5

，y=x=

4

5

∴P點坐標為（0，

8

5

）或（0，

4

5

）．（6分）
若t＞0，PD=PE時，即DE為斜邊，
∴DE=2MN=2t．
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴

DE

OA

=

BN

BM

（7分）
∴

2MN

2

=

4 3 -MN

4 3

，
∴MN=t=

4

7

，DE中點的縱坐標為

1

4

t+1=

8

7

，
∴P點坐標為（0，

8

7

）（8分）
如圖，
若t＜0，PE=DE或PD=DE時，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴

DE

OA

=

BN

BM

（9分）
DE=-4（不符合題意，舍去），此時直線x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD時，即DE為斜邊，
∴DE=2MN=-2t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴

DE

OA

=

BN

BM

（11分）
∴

2MN

2

=

4 3 +MN

4 3

，
∴MN=4，
∴t=-4，

1

4

t+1=0，
∴P點坐標為（0，0）．（12分）
綜上述所述：當t=

4

5

時，△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0，

8

5

）或（0，

4

5

）；
當t=

4

7

時，△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0，

8

7

）；當t=-4時，
△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0，0）．

點評：此題難度很大，涉及變量較多，解答時需要將x轉化為t，然后根據等腰三角形的性質進行推理，由于情況較多，容易造成漏解，故解答時要仔細．