Question

【題目】已知：在正方形ABCD中，AB＝3，E是邊BC上一個動點（點E不與點B，點C重合），連接AE，點H是BC延長線上一點．過點B作BF⊥AE，交AE于點G，交DC于點F．

（1）求證：AE＝BF；

（2）過點E作EM⊥AE，交∠DCH的平分線于點M，連接FM，判斷四邊形BFME的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，∠EMC的正弦值為，求四邊形AGFD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形BFME是平行四邊形，見解析；（3）S四邊形ADFG＝.

【解析】

（1）結合正方形的性質證△ABE≌△BCF即可；

（2）要證四邊形BFME是平行四邊形，由（1）知△ABE≌△BCF（ASA）且AE＝BF，若能證AE=EM，則BF=EM，只需再證BF∥EM即可，因此為證AE=EM，可構造以AE為邊的三角形使其與△ECM全等，可在AB上截取BN＝BE，構造三角形AEN，進行證明即可;

（3）如圖2，連接BD，過點F作FN⊥BD于點N，由正方形、平行線及角平分線的性質可知∠EMC＝∠DBF，所以sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝，設NF＝a，BF＝10a，由正方形的性質，可知BD,ND長，BN=BD-ND,在直角三角形BNF中BF2﹣NF2＝BN2，據此求出a的值，即知NF，BF長，同樣，DF,FC，BE,EC的長也能求出，再由△BGE∽△BCF求出 BG，GE長，此時，可求出四邊形ADEC，ECFG的面積，作差即得四邊形AGFD的面積.

解：證明：（1）∵在正方形ABCD中，

∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，

∵∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBF+∠ABF＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，

∴△ABE≌△BCF（ASA）

∴AE＝BF，

（2）四邊形BFME是平行四邊形

理由如下：如圖1：在AB上截取BN＝BE，

∵△ABE≌△BCF

∴∠BAE＝∠FBC

∵AB＝BC，BN＝BE，

∴AN＝EC，∠BNE＝45°

∴∠ANE＝135°

∵CM平分∠DCH

∴∠DCM＝∠MCH＝45°

∴∠ECM＝135°＝∠ANE

∵AE⊥EM

∴∠AEB+∠MEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°

∴∠BAE＝∠MEC，且AN＝EC，∠ANE＝∠DCM

∴△ANE≌△ECM（SAS）

∴AE＝EM，∠BAE＝∠MEC

∴∠BAE＝∠FBC＝∠MEC

∴BF∥EM，且BF＝AE＝EM

∴四邊形BFME是平行四邊形

（3）如圖2，連接BD，過點F作FN⊥BD于點N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝3，∠DBC＝∠BDC＝45°，

∴BD＝3，∠DBF+∠FBC＝45°

∵∠MCH＝∠MEC+∠EMC＝45°，∠FBC＝∠MEC

∴∠EMC＝∠DBF

∴sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝

∴設NF＝a，BF＝10a，

∵∠BDC＝45°，FN⊥BD

∴DN＝NF＝a，DF＝NF＝2a

∴BN＝3﹣a

∵BF2﹣NF2＝BN2，

∴98a2＝（3﹣a）2，

∴a＝

∴DF＝2×＝

∴FC＝

∵△ABE≌△BCF

∴BE＝CF＝，

∴EC＝，BF＝＝

∵∠FBC＝∠FBC，∠BGE＝∠BCF

∴△BGE∽△BCF

∴

∴

∴BG＝，GE＝

∴S四邊形ADFG＝S四邊形ADEC﹣S四邊形ECFG，

∴S四邊形ADFG＝