Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=x²+bx+c經過點B，且頂點在直線x=上．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標；
（4）在（2）、（3）的條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O、B不重合），過點M作∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線y=經過點B（0，4），以及頂點在直線x=上，得出b，c即可；
（2）根據菱形的性質得出C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點的性質得出x=5或2時，y的值即可．
（3）首先設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b，求出解析式，當x=時，求出y即可；
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進而得出，得到ON=，進而表示出△PMN的面積，利用二次函數最值求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=經過點B（0，4）
∴c=4，
∵頂點在直線x=上，
∴-=-=，
∴b=-；
∴所求函數關系式為；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），
當x=5時，y=，
當x=2時，y=，
∴點C和點D都在所求拋物線上；

（3）設CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，
設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b，
則，
解得：，
∴，
當x=時，y=，
∴P（），

（4）∵MN∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴即得ON=，
設對稱軸交x于點F，
則（PF+OM）•OF=（+t）×，
∵，
S_△PNF=×NF•PF=×（-t）×=，
S=（-），
=-（0＜t＜4），
a=-＜0∴拋物線開口向下，S存在最大值．
由S_△PMN=-t²+t=-（t-）²+，
∴當t=時，S取最大值是，
此時，點M的坐標為（0，）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，以及菱形性質和待定系數法求解析式，求圖形面積最值，利用二次函數的最值求出是解題關鍵．