Question

如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣2，﹣1），B（0，7）兩點．

（1）求該拋物線的解析式及對稱軸；

（2）當x為何值時，y＞0？

（3）在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于C，D兩點（點C在對稱軸的左側(cè)），過點C，D作x軸的垂線，垂足分別為F，E．當矩形CDEF為正方形時，求C點的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再用配方法或公式法求出對稱軸即可；

（2）求出二次函數(shù)與x軸交點坐標即可，再利用函數(shù)圖象得出x取值范圍；

（3）利用正方形的性質(zhì)得出橫縱坐標之間的關(guān)系即可得出答案．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=﹣x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣2，﹣1），B（0，7）兩點．

∴，

解得：，

∴y=﹣x²+2x+7，

=﹣（x²﹣2x）+7，

=﹣[（x²﹣2x+1）﹣1]+7，

=﹣（x﹣1）²+8，

∴對稱軸為：直線x=1．

 

（2）當y=0，

0=﹣（x﹣1）²+8，

∴x﹣1=±2，

x₁=1+2，x₂=1﹣2，

∴拋物線與x軸交點坐標為：（1﹣2，0），（1+2，0），

∴當1﹣2＜x＜1+2時，y＞0；

 

（3）當矩形CDEF為正方形時，

假設(shè)C點坐標為（x，﹣x²+2x+7），

∴D點坐標為（﹣x²+2x+7+x，﹣x²+2x+7），

即：（﹣x²+3x+7，﹣x²+2x+7），

∵對稱軸為：直線x=1，D到對稱軸距離等于C到對稱軸距離相等，

∴﹣x²+3x+7﹣1=﹣x+1，

解得：x₁=﹣1，x₂=5（不合題意舍去），

x=﹣1時，﹣x²+2x+7=4，

∴C點坐標為：（﹣1，4）．

【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用圖象觀察函數(shù)值和正方形性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出C、D兩點坐標之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．