Question

．（本題滿分8分）我市某鎮的一種特產由于運輸原因，長期只能在當地銷售．當地政府對該特產的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P＝－(x－60)²＋41（萬元）．當地政府擬在“十二•五”規劃中加快開發該特產的銷售，其規劃方案為：在規劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q＝－(100－x)²＋(100－x)＋160（萬元）．
（1）若不進行開發，求5年所獲利潤的最大值是多少？
（2）若按規劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根據（1）、（2），該方案是否具有實施價值？

Answer 1

解：（1）由P=-（x-60）²＋41知，每年只需從100萬元中拿出60萬元投資，即可獲得最大利潤41萬元，
則不進行開發的5年的最大利潤P₁=41×5=205（萬元）         ……（2分）
（2）若實施規劃，在前2年中，當x=50時，每年最大利潤為：
P=-（50-60）²+41=40萬元，前2年的利潤為：40×2=80萬元，扣除修路后的純利潤為：80-50×2=-20萬元.                  ……（4分）
設在公路通車后的3年中，每年用x萬元投資本地銷售，而用剩下的（100-x）萬元投資外地銷售，則其總利潤W=［-（x-60）²＋41＋（-x²＋x＋160］×3=-3（x-30）²＋3195
當x=30時，W的最大值為3195萬元，
∴5年的最大利潤為3195-20=3175（萬元）               ……（7分）
（3）規劃后5年總利潤為3175萬元，不實施規劃方案僅為205萬元，故具有很大的實施價值.   ……（9分）

解析