Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，CD=6，以CD為直徑的⊙O切AB于G，設AG²=y，AC=x．
（1）求y與x的函數關系式，并指出自變量的取值范圍．
（2）利用所求出的函數關系式，求當AC為何值時，才能使得BC與⊙O的直徑相等？
（3）△ACB有可能為等腰三角形嗎？若可能，請求出x的值；若不可能，請說出理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求出即可；
（2）利用三角形相似的判定得出Rt△OAG∽Rt△BAC，進而得出答案．
（3）由Rt△OAG∽Rt△BAC，當△BAC為等腰三角形時，△OAG也為等腰三角形，進而得出答案．

解答：解：（1）連接OG，則OG⊥AG．
∴AG²=AO²-OG²
即y=（x-3）²-3²，∴y=x²-6x（x＞6）

（2）

∵∠OAG=∠BAC ∠AGO=∠ACB

?Rt△OAG∽Rt△BAC?

AG

OG

=

AC

BC

即

x2-6x

3

=

x

6

?x²-8x=0
因為x≠0x=8．
即當AC=8時，有BC與直徑DC相等．

（3）∵Rt△OAG∽Rt△BAC，
故當△BAC為等腰三角形時，△OAG也為等腰三角形，這時必有AG=OG=3．
將y=AG²=3²=9代入y=x²-6x得x²-6x-9=0
解得x₁=3+3

2

，x2=3-3

2

（不符題意，舍去）
所以，當x=3+3

2

時，△ACB為等腰三角形．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性質等知識，根據已知得出Rt△OAG∽Rt△BAC是解決問題的關鍵．