Question

（2012•李滄區一模）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC．
（1）求證：AB=AF；
（2）若∠ACB=30°，連接AG，判斷四邊形AGCD是什么特殊的四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據AAS證出△ABC≌△AFE，根據全等三角形的性質推出即可；
（2）求出AF=CF，證△DAF≌△GCF，推出AD=CG，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中
∵

∠BAC=∠FAE ∠ABC=∠AFE AC=AE

，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF．

（2）四邊形AGCD是菱形．
證明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，
∴2AB=AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AF=AF+FC，
∴AF=CF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠FCG，
在△DAF和△GCF中

∠DFA=∠CFG AF=FC ∠DAF=∠FCG

，
∴△DAF≌△GCF（ASA），
∴AD=CG，
∵AD∥CG，
∴四邊形AGCD是平行四邊形，
∵DG⊥AC，
∴平行四邊形AGCD是菱形．

點評：本題考查了直角梯形，全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定等知識點的綜合運用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．