Question

某飲料廠開發新產品，用A、B兩種果汁原料按不同比例混合研制甲、乙兩種新型飲料．現在分別有A、B果汁原料19千克、17.2千克，試生產兩種飲料共50千克，每種飲料所需A、B果汁原料如下表：

（1）利用現有原料，工廠能否完成任務？若能，有幾種生產方案？請你設計出來．（假設生產甲種飲料x千克）
（2）設甲種飲料每千克成本為4元，乙種飲料每千克成本為3元，這兩種飲料的成本總額為y元，根據（1）的運算結果，確定當甲種飲料生產多少千克時，甲、乙兩種飲料的成本總額y最小？

Answer 1

分析：（1）根據A、B果汁原料19千克、17.2千克，試生產兩種飲料共50千克，假設生產甲種飲料x千克，那么生產甲飲料需要A，0.5xkg，乙需要A0.2（50-x）kg，0.5x+0.2（50-x）≤19，同理可得，甲，乙需要B飲料，0.3x+0.4（50-x）≤17.2，列出不等式組求出即可；
（2）根據（1）中的所求數據，可得出生產成本要想減小，應盡可能的多生產乙飲料，少生產甲飲料，結合數據可得出答案．

解答：解：（1）假設生產甲種飲料x千克，那么生產乙種飲料（50-x）千克，
由題意得，生產甲飲料需要A，0.5xkg，乙需要A，0.2（50-x）kg，0.5x+0.2（50-x）≤19，
同理可得，甲，乙需要B飲料，0.3x+0.4（50-x）≤17.2，列出不等式組求出即可；

0.5x+0.2(50-x)≤19 0.3x+0.4(50-x)≤17.2

，
解：0.5x+0.2（50-x）≤19，
解得：x≤30，
解：0.3x+0.4（50-x）≤17.2，
解得：28≤x，
∴不等式組的解集是：28≤x≤30，
有3種生產方案，分別為①生產甲飲料28kg，乙原料22kg；
②生產甲飲料29kg，乙原料21kg；
③生產甲飲料30kg，乙原料20kg；

（2）∵生產成本要想減小，應盡可能的用完B原料，應盡可能的多生產乙飲料，少生產甲飲料，
∴生產甲原料28kg時，成本最低，
y=4×28+3×22=178元．

點評：此題主要考查了不等式組的應用，結合實際問題得出最佳方案，這是中考中的一個熱點問題．