Question

如圖，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，點E是BC的中點．
求證：
（1）DE∥AB；
（2）DE=

1

2

（AB-AC）．

Answer 1

分析：延長CD交AB于點F，然后利用“角邊角”證明△ADC和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=DF，AC=AF，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半即可證明．

解答：證明：如圖，延長CD交AB于點F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADC和△ADF中，

∠CAD=∠FAD AD=AD ∠ADC=∠ADF=90°

，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴CD=DF，AC=AF，
∵點E是BC的中點，
∴DE是△BCF的中位線，
∴（1）DE∥AB；
（2）DE=

1

2

BF，
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=

1

2

（AB-AC）．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質，作輔助線并證明DE是三角形的中位線是解題的關鍵．