Question

（2008•海口一模）如圖，已知拋物線經過原點O和點A，點B（2，3）是該拋物線對稱軸上一點，過點B作BC∥x軸交拋物線于點C，連接BO、CA，若四邊形OACB是平行四邊形．
（1）①直接寫出A、C兩點的坐標；
     ②求這條拋物線的函數關系式；
（2）設該拋物線的頂點為M，試在線段AC上找出這樣的點P，使得△PBM是以BM為底邊的等
腰三角形，并求出此時點P的坐標；
（3）經過點M的直線把?OACB的面積分為1：3兩部分，求這條直線的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）①根據點B（2，3）是該拋物線對稱軸上一點，得出A點坐標為（4，0），進而得出AO的長，即可得出BC=AO，求出C點坐標即可；
②根據O，A，C三點坐標，利用待定系數法求出二次函數的解析式即可；
（2）首先求出AC所在解析式，進而得出符合條件的等腰△PBM頂角的頂點P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點上，求出即可；
（3）由條件可知經過點M且把?OACB的面積分為1：3兩部分的直線有兩條，分別得出即可．

解答：解：（1）①∵點B（2，3）是該拋物線對稱軸上一點，
∴A點坐標為（4，0），
∵四邊形OACB是平行四邊形，
∴BC=AO，
∴C點坐標為：（6，3），

②設所求的拋物線為y=ax²+bx+c，則依題意，得
  

c=0 16a+4b+c=0 36a+6b+c=3

，
 解得：

a= 1 4 b=-1 c=0

，
∴所求的拋物線函數關系式為：y=

1

4

x²-x．

（2）設線段AC所在的直線的函數關系式為y=k₁x+b₁，根據題意，得

4k1+b1=0 6k1+b1=3

，
解得：

k1= 3 2 b1=-6

．
∴直線AC的函數關系式為：y=

3

2

x-6．
∵y=

1

4

x²-x=

1

4

（x²-4x），
=

1

4

（x²-4x+4-4），
=

1

4

（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點坐標M為（2，-1），
∴符合條件的等腰△PBM頂角的頂點P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點上，
而BM=4，所以P點的縱坐標為1，把y=1代入y=

3

2

x-6中，得x=

14

3

．
∴點P的坐標為（

14

3

，1）．

（3）由條件可知經過點M且把?OACB的面積分為1：3兩部分的直線有兩條．
（ⅰ）∵?OACB=OA•BD=4×3=12，△OBD的面積=

1

2

OD•BD=

1

2

×2×3=3，
∴直線x=2為所求．
（ⅱ）設符合條件的另一直線分別與x軸、BC交于點E（x₁，0）、F（x₂，3），
則AE=4-x₁，CF=6-x₂
∴四邊形ACFE的面積=

1

2

（4-x₁+6-x₂）×3=

1

4

×12．
即x₁+x₂=8．
∵BC∥x軸，
∴△MDE∽△MBF，
∴

ED

FB

=

MD

MB

，
∴

x1-2

x2-2

=

1

4

，
即4x₁-x₂=6．
∴x₁=

14

5

，x₂=

26

5

，
∴E（

14

5

，0）、F（

26

5

，3），
設直線ME的函數關系式為y=k₂x+b₂，則

2k2+b2=-1 14 5 k2 +b2=0

，
解得：

k2= 5 4 b2=- 7 2

，
∴直線ME的函數關系式為y=

5

4

x-

7

2

．
綜合（ⅰ）（ⅱ）得，所求直線為：x=2或y=

5

4

x-

7

2

．
（注：用其它方法求解參照以上標準給分．）

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平行四邊形的性質和待定系數法求一次函數解析式等知識，利用平行四邊形的面積以及相似三角形的性質得出是解題關鍵．