Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；

（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、 B₁的坐標分別為 (x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代數式表示x₂－x₁，并求出當S=36時點A₁的坐標；

（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

   

Answer 1

（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）．

（2） 梯形O₁A₁B₁C₁的面積，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．

當S=36時， 解得 此時點A₁的坐標為（6，3）．

（3）設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值．

在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于，，所以．解得．

 

圖3                               圖4