Question

已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。

（I）求雙曲線C的方程；                                

(II)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。

Answer 1

已知雙曲線C的方程為

離心率頂點到漸近線的距離為

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）如圖，P是雙曲線C上一點，A,B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限.若求△AOB面積的取值范圍.

解答一（Ⅰ）由題意知，雙曲線C的頂點到漸近線

∴

由 得 ∴雙曲線C的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知雙曲線C的兩條漸近線方程為

設

由得P點的坐標為

將P點坐標代入化簡得

設∠AOB

又

記

由

當時，△AOB的面積取得最小值2，當時，△AOB的面積取得最大值∴△AOB面積的取值范圍是

解答二（Ⅰ）同解答一

      （Ⅱ）設直線AB的方程為由題意知

       由{ 得A點的坐標為

       由{ 得B點的坐標為

       由得P點的坐標為 

       將P點坐標代入

設Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為（0，m）.

     =

以下同解答一.