Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的解析式為：y＝kx+x﹣k+1，若將直線l繞A點旋轉．如圖所示，當直線l旋轉到l1位置時，k＝2且l1與y軸交于點B，與x軸交于點C；當直線l旋轉到l2位置時，k＝﹣且l2與y軸交于點D

（1）求點A的坐標；

（2）直接寫出B、C、D三點的坐標，連接CD計算△ADC的面積；

（3）已知坐標平面內一點E，其坐標滿足條件E（a，a），當點E與點A距離最小時，直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）A點的坐標為（1，2）；（2）B（0，﹣1）、C（，0）、D（0，），；（3）a＝

【解析】

（1）將k＝2和k＝代入直線的解析式，得到關于x、y的方程組，然后解方程組可求得點A的坐標；

（2）連接DC．先求得點B、C、D的坐標，然后依據S△ADC＝S△ADB﹣S△BDC求解即可；

（3）過點A作直線y＝x的垂線，垂足為E，過點A作AF∥y軸，過點E作EG⊥AF，垂足為G．先求得AF的值，然后由△AEF為等腰直角三角形，從而可求得點E的坐標，故此可得到a的值．

（1）當k＝2時，y＝3x﹣1，

當k＝﹣時，y＝x+．

解方程組，

得：，

∴A點的坐標為（1，2）．

（2）連接DC．

將x＝0代入y＝3x﹣1得：y＝﹣1，

∴B（0，﹣1）．

將y＝0代入y＝3x﹣1得：3x﹣1＝0，解得：x＝．

∴C（，0）．

將x＝0代入y＝x+得：y＝，

∴D（0，）．

∴BD＝，OC＝．

∴S△ADC＝S△ADB﹣S△BDC＝××1﹣×．

（3）∵E（a，a），

∴點E在直線y＝x上．

如圖所示：過點A作直線y＝x的垂線，垂足為E，過點A作AF∥y軸，過點E作EG⊥AF，垂足為G．

將x＝1代入y＝x得：y＝1，

∴AF＝2﹣1＝1．

∵點E在直線y＝x上，

∴∠AFE＝45°，

∴△AEF為等腰直角三角形．

∵EG⊥AF，

∴AG＝FG＝，

∴E的縱坐標＝1+＝．

∴a＝．