Question

【題目】在平面直角坐標系中畫出兩條相交直線y＝x和y＝kx＋b，交點為(x0 ， y0)，在x軸上表示出不與x0重合的x1 ， 先在直線y＝kx＋b上確定點(x1 ， y1)，再在直線y＝x上確定縱坐標為y1的點(x2 ， y1)，然后在x軸上確定對應的數x2 ， …，依次類推到(xn ， yn－1)，我們來研究隨著n的不斷增加，xn的變化情況．如圖1(注意：圖在下頁上)，若k＝2，b＝—4，隨著n的不斷增加，xn逐漸(填“靠近”或“遠離”)x0；如圖2，若k＝ ，b＝2，隨著n的不斷增加，xn逐漸(填“靠近”或“遠離”)x0；若隨著n的不斷增加，xn逐漸靠近x0 ， 則k的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】遠離；靠近；－1＜k＜1且k≠0
【解析】（1）由分析可知第1空填“遠離”，（2）第2空填“靠近”；
（3）聯立方程組解得
即.
I.當k>1時，y=kx+b隨著x的增大而增大，
則x>x0時kx+b>x
取x1>x0 ， 則kx1+b>x1,即y1=kx1+b>x1;
由題意得x2=y1=kx1+b>x1,
同理，x3=y2=kx2+b>x2,
……
xn=yn-1=kxn-1+b>xn-1,
所以得到一組點（x1,y1),(x2,y1),(x2,y2),…，(xn,yn-1) ，
且x0<x1<x2<x3<…<xn，
則k>1時，隨著n的不斷增加，xn逐漸遠離x0；
同理可得，當k<-1時，隨著n的不斷增加，xn逐漸遠離x0
II.當0<k<1時，y=kx+b隨著x的增大而增大，
則x>x0時kx+b<x
取x1>x0 ， 則x0<kx1+b<x1,即x0=y0<y1=kx1+b<x1;
由題意得x2=y1=kx1+b,則x0<x2<x1,
同理，x3=y2=kx2+b<x2,則x0<x3<x2,
……
xn=yn-1=kxn-1+b<xn-1,則x0<xn<xn-1,
所以得到一組點（x1,y1),(x2,y1),(x2,y2),…，(xn,yn-1) ，
且x0<xn<xn-1<…<x3<x2<x1，
則0<k<1時，隨著n的不斷增加，xn逐漸靠近x0；
同理可得，當-1<k<0時，隨著n的不斷增加，xn逐漸靠近x0.
綜上－1＜k＜1且k≠0時，隨著n的不斷增加，xn逐漸靠近x0.
故答案為－1＜k＜1且k≠0.
根據圖1和圖2，觀察(xn ， yn-1)的位置，
（1）容易看到圖1中的(xn ， yn-1)與(x0 ， y0)越來越遠；
（2）容易看到圖2中的(xn ， yn-1)與(x0 ， y0)越來越靠近；
（3）根據圖1和圖2的例子，可以分k>1,k<-1,0<k<1和-1<k<0分類討論，求出xn的值變化情況即可.