Question

【題目】（本題3+3+4+4分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（，0）和點B（1，），與x軸的另一個交點為C，

（1）求拋物線的表達式；（2）點D在對稱軸的右側，x軸上方的拋物線上，且，求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對稱軸于點E，連接AE

①判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由；

②點F是OB的中點，點M是直線BD上的一個動點，且點M與點B不重合，當，請直接寫出線段BM的長。

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（4，）；（3）①四邊形OAEB是平行四邊形．理由如見解析②線段BM的長為或．

【解析】

試題分析：（1）把點AB坐標分別代入解析式，然后解方程組即可求出拋物線的函數表達式；（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點B與點D縱坐標相同，解一元二次方程求出點D的坐標；（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形；②點M在點B的左右兩側均有可能，因此分兩種情況討論．

試題解析：（1）把點A（，0）和點B（1，）分別代入得：，解得，所以拋物線的函數表達式為；（2）當∠BDA=∠DAC時， BD∥x軸，因為點B（1，），令y= ，所以，解得，所以D（4，）；（3）①四邊形OAEB為平行四邊形．拋物線的對稱軸是，所以BE=,因為點A（，0），所以OA=BE= ,又BE//OA,所以四邊形OAEB為平行四邊形；②點M在點B的左右兩側均有可能，需要分類討論：∵O（0，0），B（1，），F為OB的中點，∴F（，）。

過點F作FN⊥直線BD于點N，則FN=﹣=，BN=1﹣=。

在Rt△BNF中，由勾股定理得：。

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF。

（I）當點M位于點B右側時．

在直線BD上點B左側取一點G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：。

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG。

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF。

又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF。

∴，即。

∴BM=。

（II）當點M位于點B左側時，

設BD與y軸交于點K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，

∴KF=OB=FB=。∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF。

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK。∴MK=KF=。

∴BM=MK+BK=+1=。

綜上所述，線段BM的長為或。