Question

（2003•新疆）（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數的增大，它的正弦值和余弦值的變化規律；
（2）根據你探索到的規律，試比較18°，34°，52°，65°，88°，這些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比較大小：（在空格處填寫“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，則sinα______cosα；若∠α＜45°，則sinα______cosα；若∠α＞45°，則sinα______cosα；
（4）利用互余的兩個角的正弦和余弦的關系，比較下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據銳角三角函數的概念，即可發現隨著一個銳角的增大，它的對邊在逐漸增大，它的鄰邊在逐漸減小，故正弦值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角的增大而減小．
（2）根據上述規律，要比較銳角三角函數值的大小，只需比較角的大小．
（3）根據概念以及等腰三角形的性質，顯然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根據銳角三角函數值的變化規律，即可得到結論．
（4）注意正余弦的轉換方法，轉換為同一種銳角三角函數后，再根據銳角三角函數值的變化規律進行比較．
解答：解：（1）在圖（1）中，令AB₁=AB₂=AB₃，B₁C₁⊥AC于點C₁，B₂C₂⊥AC于點C₂，B₃C₃⊥AC于點C₃，
顯然有：B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，∠B₁AC＞∠B₂AC＞∠B₃AC．
∵sin∠B₁AC=，sin∠B₂AC=，sin∠B₃AC=，
而＞＞．
∴sin∠B₁AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₃AC．
在圖（2）中，Rt△ACB₃中，∠C=90°，
cos∠B₁AC=，cos∠B₂AC=，cos∠B₃AC=，
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，
∴＜＜．
即cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC．

（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α=45°，則sinα=cosα；若∠α＜45°，則sinα＜cosα；若∠α＞45°，則sinα＞cosα．

（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
點評：理解銳角三角函數的概念，掌握銳角三角函數值的變化規律以及正余弦的轉換方法．