Question

如圖，三角形ABO的底邊A0在x軸上，A（4，5），B（6，0），O（0，0），一次函數y=kx+b的圖象過A點．平分它的面積，
（1）若一次函數y=kx+b的圖象平分△ABO的面積，求k的值；
（2）在y軸上找一點P，使PA+PB最小，求出點P的坐標；
（3）在（1）的條件下，若關于x的函數y=（2m+k）x²-（k+3m）x+m的圖象與坐標軸只有兩個交點，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵一次函數y=kx+b過點A且平分△AOB的面積，
∴此直線一定過線段OB的中點，
∵B（6，0），
∴點C（3，0），
則，
解得；

（2）作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長即為PA+PB的最小值，
∵A（4，5），
∴A′（-4，5），
設直線A′B的解析式為y=ax+m，則
，
解得，
故直線A′B的解析式為y=-x+3，
當x=0時y=3，
則P（0，3）；

（3）∵k=5，
∴關于x的函數y=（2m+k）x²-（k+3m）x+m可化為y=（2m+5）x²-（5+3m）x+m，
當此函數是一次函數時2m+5=0，即m=-；
當此函數是二次函數時，
∵此函數與坐標軸有兩個交點，
∴函數與x軸只有一個交點，
∴△=[-（5+3m）]²-4m（2m+5）=0，
解得m=-5．
故m=-或m=-5．
分析：（1）由于一次函數y=kx+b過點A且平分△AOB的面積，故此直線一定過線段OB的中點，由B（6，0）可得出其中點坐標，利用待定系數法可求出直線y=kx+b的解析式；
（2）作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長即為PA+PB的最小值，由軸對稱的特點求出A′點的坐標，利用待定系數法即可求出直線A′B的解析式，求出此直線與y軸的交點坐標即為P點坐標；
（3）由于關于x的函數y=（2m+k）x²-（k+3m）x+m是二次函數還是一次函數不能確定，故應分兩種情況進行討論．
點評：本題考查的是一次函數綜合題及軸對稱-最短路線問題，在解答（3）時要注意進行分類討論，不要漏解．