Question

【題目】如圖所示，梯形AOCD中，AD=9，OC=10，AO=4，在線段OC上任取一點N（不與O，C重合），連接DN，作NE⊥DN，交AO于點E．

（1）當CN=2時，求點E的坐標．

（2）若CN=x，OE=y，求y與x的函數關系式．

（3）探索與研究：若點M從O點沿OC方向、N點從C點沿CO方向同時等速運動，現有一點F，滿足MF⊥MN，NF⊥ND．

①猜想F點在什么線上運動？并求出這條線所對應的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

②求出F點在運動過程中的最高點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標為（0，2）；（2）①當0＜x＜1時，y=；②當x＞1時，y=；（3）①y=﹣x2+3x﹣（0＜x＜10）；②最高點的坐標是（3，2）．

【解析】試題分析：

試題解析：(1)如圖所示，作DF⊥OC于F，

由題意知，CN=2，AD=9，OC=10.

∵AOCD是梯形且

∴OF=AD=9，CF=OCOF=1，NF=CNCF=1，DF=OA=4.

∴在Rt△DFN中,

又∵NE⊥DN,

∴∠DNF=∠OEN，tan∠OEN=tan∠DNF=4.

∴點E的坐標為(0,2)；

(2)如圖所示：

①當0<t<1時由(1)知CF=1,所以此時N點在F點右側,E點在y軸負半軸，

∵∠DNF=∠OEN，

整理得：

②當t>1時，如圖所示N點在F點左側，E點則在y軸正半軸，

即

(3)①如圖所示：由圖知點F在第四象限，

∵MF⊥MN,NF⊥ND,點F(x,y),M點、N點同時等速運動,

∴CN=OM=x.

又

∴∠MFN=∠DNM，

即：

y<0，

②

故最高點的坐標是(3,2).