Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm，某一時刻，動點M從點A出發沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動．
（1）經過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？
（2）是否存在時刻t，使A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）關于動點問題，可設時間為x，根據速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關系，列方程求解即可，如本題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的 作為相等關系；
（2）先假設相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在．
解答：解：（1）設經過x秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，
由題意得DN=2x，AN=6-2x，AM=x，
∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，
∴AD=BC=6，CD=AB=3，
矩形ABCD的面積為：AB•AD=3×6=18，
△AMN的面積==×18，
可得方程x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
答：經過1秒或2秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的；

（2）由題意得DN=2t，AN=6-2t，AM=t，
若△NMA∽△ACD，
則有=，即=，
解得x=1.5，
若△MNA∽△ACD
則有=，即=，
解得x=2.4，
答：當t=1.5秒或2.4秒時，以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似．
點評：此題考查了相似三角形的判定，正方形的性質和一元二次方程的運用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性質，才會靈活的運用．注意：一般關于動點問題，可設時間為x，根據速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關系，列方程求解即可．