Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半徑為1．現將一個直角三角板的直角頂點與矩形的對稱中心O重合，繞著O點轉動三角板，使它的一條直角邊與⊙D切于點H，此時兩直角邊與AD交于E，F兩點，則tan∠EFO的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：本題可以通過證明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值．
解答：解：連接DH．
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，
∴BD==2．
∵O是對稱中心，
∴OD=BD=．
∵OH是⊙D的切線，
∴DH⊥OH．
∵DH=1，
∴OH=2．
∴tan∠ADB=tan∠HOD=．
∵∠ADB=∠HOD，
∴OE=ED．
設EH為X，則ED=OE=OH-EH=2-X．
∴1²+X²=（2-X）^2
解得X=．即EH=
又∵∠FOE=∠DHO=90°
∴FO∥DH
∴∠EFO=∠HDE
∴tan∠EFO=tan∠HDE==．
點評：本題主要是考查切線的性質及解直角三角形的應用，關鍵是利用平行把已知角代換成其它相等的容易求出其正切值的角．