Question

【題目】如圖，一塊∠BAC為30°的直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，點E在量角器的圓弧邊緣處從A到B運動，連接CE，交直徑AB于點D．

(1)當點E在量角器上對應的刻度是90°時，則∠ADE的度數為______；

(2)若AB=8，P為CE的中點，當點E從A到B的運動過程中，點P也隨著運動，則點P所走過的路線長為______．

Answer 1

【答案】75° 2π

【解析】

(1)連接OE．根據∠ACE=∠AOE=45°，∠ADE=∠A+∠ACE求解即可；

(2)連接OP，設OC的中點為O′．由PE=PC，推出OP⊥EC，推出∠OPC=90°，推出點P的運動軌跡是以OC為直徑的半圓，由此即可解決問題；

解：(1)如圖，連接OE．

∵直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，

∴點A，E，B，C共圓，

∵點E對應的刻度是90°，

∴∠AOE=90°，

∴∠ACE=∠AOE=45°，

∴∠ADE=∠A+∠ACE=75°．

故答案為75°．

(2)連接OP，設OC的中點為O′．

∵PE=PC，

∴OP⊥EC，

∴∠OPC=90°，

∴點P的運動軌跡是以OC為直徑的半圓，

∵OC=AB=4，

∴OO′=OC=2，

∴點P的運動路徑的長為π2=2π，

故答案為2π