Question

明明在矩形紙片ABCD上為“數學愛好者協會”設計的徽標如圖所示，其中AB=5，AD=6．曲線BMH是拋物線的一部分，點H在BC邊上．拋物線的對稱軸平行于AB，BH=4，頂點M到BC的距離為4．四邊形DEFG是正方形，點F在拋物線上，E、G兩點分別在AD、CD邊上．
（1）建立適當的平面直角坐標系，求拋物線的解析式．
（2）求正方形DEFG的邊長．
（3）將矩形紙片沿FG所在的直線折疊，點M能否落在BC上，請通過計算說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）答案不唯一，在此以B點為圓心、BC為x軸、BA為y軸建立直角坐標系來進行說明．
已知了BH=4，那么H（4，0），而M到BC的距離為4，且BH=4，根據拋物線的對稱性可知M（2，4）．已知了三點的坐標即可求出拋物線的解析式．
（2）如果設正方形邊長為m，那么F點的坐標可表示為（6-m，5-m），代入（1）的拋物線中即可求出m的值．
（3）已知了正方形的邊長，即可求出CG的長，如果CG的長是M到BC的距離的一半即2，則說明M可以落到BC上，反之則不能．
解答：解：（1）如圖，以B為原點，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系．
則M（2，4），H（4，0）．
設所求拋物線解析式為y=ax²+bx．
則，
∴．
∴y=-x²+4x．

（2）設正方形邊長為m，則點F的坐標為（6-m，5-m），
∵點F在拋物線上，
∴-（6-m）²+4（6-m）=5-m．
整理，得m²-9m+17=0．
∴m₁=＞6（舍），m₂=．
∴正方形DEFG的邊長為．

（3）點M不能落在BC上．
∵點M到BC的距離為4，點F到BC的距離為5-=，
而≠2，
∴將矩形紙片沿FG所在的直線折疊，點M不能落在BC上．
點評：本題考查了矩形的性質、正方形的性質、二次函數解析式的確定、折疊的性質等知識點．