Question

如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，O為對角線AC、BD的交點，且∠CAE=15°
（1）求證：△AOB為等邊三角形；
（2）求∠BOE度數．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，AO=BO=AC=BD
∵AE是∠BAD的角平分線；
∴∠BAE=45°
∵∠CAE=15°
∴∠BAC=60°
∴△AOB是等邊三角形；

（2）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°
∴AB=BE
∵△ABO是等邊三角形
∴AB=BO
∴OB=BE
∵∠OBE=30°，OB=BE，
∴∠BOE=（180°-30°）=75°．
分析：（1）因為四邊形ABCD是矩形，所以OA=OB，則只需求得∠BAC=60°，即可證明三角形是等邊三角形；
（2）因為∠B=90°，∠BAE=45°，所以AB=BE，又因為△ABO是等邊三角形，則∠OBE=30°，故∠BOE度數可求．
點評：此題為等邊三角形判定的綜合題．考查學生綜合運用數學知識的能力，注意結合圖形解題的思想．