Question

已知，如圖1，?ABCD中，∠BCD與∠ABC的平分線相交于點E，并與AD邊相交點F，G．

（1）求證：∠BEC=90°；
（2）當點E，F，G三點重合時（圖2），求的值；
（3）設△BEC的面積為S₁，?ABCD的面積為S₂．當時（圖3），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據BE平分∠ABC，CE平分∠BCD可知∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，再根據四邊形ABCD是平行四邊形可知∠ABC+∠BCD=180°，即2（∠1+∠2）=∠ABC+∠BCD=180°，進而可得出結論；
（2）由BE平分∠ABC，可知∠1=∠3，再根據四邊形ABCD可知AD∥BC，∠1=∠5，∠3=∠5，故可得出AB=AE，同理可證，DC=DE，再由平行四邊形的性質即可得出結論；
（3）由（1）（2）可知，在圖2中，∠BEC=90°，AB=AG，CD=DF，設AB=CD=x，依題意，BC=AD=3x，AG=DF=x，故可得出GF=3x-2x=x，
作EN⊥BC，交BC于N，交AD于M，則ME=EN-MN，由AD∥BC可得出△EBC∽△EFG，根據相似三角形的性質即可得出結論．
解答：解：（1）在圖1，圖2，圖3中，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，
∵?ABCD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴2（∠1+∠2）=∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠BEC=90°；


（2）圖2中，∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠3，
∵?ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠5，
∴∠3=∠5，
∴AB=AE，
同理可證，DC=DE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，BC=AD，
∴BC=2AB，
∴=2；

（3）在圖3中，
由（1）（2）可知，在圖2中，∠BEC=90°，AB=AG，CD=DF，
設AB=CD=x，依題意，BC=AD=3x，AG=DF=x，
∴GF=3x-2x=x，
作EN⊥BC，交BC于N，交AD于M，
則ME=EN-MN，
∵AD∥BC，
∴△EBC∽△EFG，
∴，
∴=3，，
∴=×=．
[方法II]由（1）（2）可知，在圖4中，∠BEC=90°，AB=AG，CD=DF，
設AB=CD=x，依題意，BC=AD=3x，AG=DF=x，
∴GF=3x-2x=x，
作GI∥AB交BC于I，作FJ∥AB交BC于J，
易證菱形ABIG，菱形GIJF，菱形FJCD，
且這三個菱形等底等高，
因而三個菱形的面積相等．
設三個菱形的面積均為S，則S₂=3S，
∵BG為菱形ABIG的對角線，CF為菱形DCJF的對角線，
∴S_△BIG=S_△CEJ=S
∴S_梯形FGBC=2S，
∴S_梯形FGBC=S₂，
∵AD∥BC，
∴△EBC∽△EFG，
∴，
∴，
∴，
∴．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、平行線的性質等相關知識，涉及面較廣，難度較大．