Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝，點O是線段AC上一動點（不與點A，點C重合），以OC為半徑的⊙O與線段BC的另一個交點為D，作DE⊥AB于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）當⊙O與AB相切于點F時，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，連接OB交DE于點M，點G在線段EF上，連接GO．若∠GOM＝45°，求DM和FG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）r＝；（3）DM＝，FG=

【解析】

（1）連接OD，根據等腰三角形判斷出∠ABC＝∠ACB，進而得到OD∥AB即可得到求證；

（2）連接OF，根據切線得到△AOF是直角三角形，根據tan∠A＝，設半徑OF=OC=r,則可表示出AF=r，AO=10-r，勾股定理求出半徑即可得到結果；

（3）現根據題意證出ODEF是正方形，求出BE,再根據△BEM∽△ODM，即可得到MD；在EF延長線上截取FT＝DM，證明出OT=OM，再證明△OGT≌△OGM，則GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM，設出GF＝a，根據勾股定理求解即可．

解：（1）證明：連接OD

∵OC，OD均為⊙O的半徑，

∴OC＝OD，

∴∠DCO＝∠CDO

又∵在△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB

∴∠ABC＝∠CDO，

∴OD∥AB

∵DE⊥AB，

∴DE⊥OD

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接OF，設⊙O的半徑為r，則OF＝r，OC＝r

∵⊙O與AB相切于點F，

∴AB⊥OF，

∴∠OFA＝90°，

在Rt△AOF中，∠OFA＝90°，OF＝r，tan∠A＝

∴AF＝r，

∴AO＝r

又∵AO＝AC－OC＝10－r，

∴r＝10－r

∴ r＝．

（3）由（2）知r＝ ，

∴AF＝r＝

∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，

∴四邊形ODEF是矩形

∵OF＝OD，

∴矩形ODEF是正方形，

∴DE＝EF＝OF＝

∴BE＝AB－AF－EF＝10－-＝

∵∠BME＝∠OMD，∠BEM＝∠ODM＝90°

∴△BEM∽△ODM，

∴

即 ＝ ，解得DM＝

在EF延長線上截取FT＝DM

∵四邊形ODEF是正方形，

∴∠OFT＝∠ODM＝90°，OF＝OD

∴△OFT≌△ODM，

∴∠2＝∠1，OT＝OM

∵∠DOF＝90°，∠GOM＝45°，

∴∠GOF＋∠1＝45°，

∴∠GOF＋∠2＝45°

即∠GOT＝45°，

∴∠GOT＝∠GOM

又OG＝OG，

∴△OGT≌△OGM，

∴GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM

設GF＝a，則EG＝ －a，GM＝ ＋a，且EM＝DE－DM＝－＝

在Rt△EMG中，EM 2＋EG 2＝GM 2，即()2＋(－a )2＝(＋a )2，解得a＝

∴FG的長為．