Question

【題目】如（圖1），已知經過原點的拋物線y＝ax2+bx與x軸交于另一點A(，0)，在第一象限內與直線y＝x交于點B(2，t)

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線OB下方的拋物線上有一點C，點C到直線OB的距離為，求點C的坐標；

（3）如（圖2），若點M在拋物線上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的條件下，是否存在點P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x2﹣3x；（2）C(1，﹣1)；（3）存在，點P(，)或(﹣，﹣)

【解析】

（1）點在直線上，則點的坐標為，將點、的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）如圖，過點作軸交于點，則，，，設點，則，即可求解；

（3）分點在第一象限、第三象限兩種情況，分別求解即可．

解：（1）點在直線上，則點的坐標為，

將點、的坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：①；

（2）如圖，過點作軸交于點，

，

，

又，

，

，

，

設點，則，

點在直線的下方，

，解得：，

；

（3）如圖（2）交軸于點，

，，，

在△BON和△AOB中，

，

，

，

將點、坐標代入一次函數表達式并解得：

直線的表達式為：②，

聯立①②并解得：，故點M（，），

∵△POC∽△MOB，，，

，

即：，，

①當點在第一象限時，

過點作于點，過點作于點，

，

，

，

，

又，，

，，

即點P（，）

②同理當點在第三象限時，

點P（，）；

綜上，點P（，）或（，）.