Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是直徑，以頂點A為圓心，AB長為半徑的圓交⊙O于F點，交BC于G點（AB＜OB）．AD⊥BC于D，AD與BF交于E點，OF交⊙A于H點．求證：
（1）△ABE是等腰三角形；
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AF，作⊙O，由垂徑定理得出弧AB=弧BM，推出∠BAD=∠ACB，根據AF=AB推出∠AFB=∠ACB=∠ABD，推出∠BAE=∠ABD，求出即可；
（2）求出FH=2BD，證△BDE∽△BFC，推出=，把BE=AE和BH=2BD代入求出即可．
解答：（1）證明：連接AF，作⊙O，
∵BC為⊙O直徑，AD⊥BC，
∴弧AB=弧BM，
∴∠BAD=∠ACB，
∵AF=AB，
∴弧AF=弧AB，
∴∠AFB=∠ACB=∠ABD，
∴∠BAE=∠ABD，
∴AE=BE，
∴△ABE是等腰三角形；

（2）證明：連接AG、AF，FC，
∵AB=AF，OB=OF，
∴∠ABF=∠AFB，∠OBF=∠OFB，
∴∠ABF+∠OBF=∠AFE+∠OFB，
∴∠ABO=∠AFO，
∵AB=AG，AF=AH，
∴∠ABG=∠AGB=∠AFH=∠AHF，
∴由三角形內角和定理得：∠FAH=∠BAG，
在△BAG和△FAH中

∴△BAG≌△FAH（SAS），
∴BG=FH，
∵AB=AG，AD⊥BG，
∴BG=FH=2BD=2GD，
∵BC是⊙O直徑，AD⊥BC，
∴∠BDE=∠BFC=90°，
∵∠EBD=∠FBC，
∴△BDE∽△BFC，
∴=，
∵BE=AE，BH=2BD，
∴==．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的性質和判定，圓心角、弧、弦之間的關系的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．